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Las matemáticas son el estudio de los números , la cantidad , el espacio , el patrón , la estructura y el cambio . Las matemáticas se utilizan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, incluidas las ciencias naturales , la ingeniería , la medicina y las ciencias sociales . Se utiliza para el cálculo y se considera el tema más importante. Matemáticas Aplicadas, la rama de las matemáticas que se ocupa de la aplicación del conocimiento matemático a otros campos, inspira y hace uso de nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conduce al desarrollo de disciplinas matemáticas completamente nuevas, como la estadística y la teoría de juegos . Los matemáticos también se dedican a las matemáticas puras , o las matemáticas por sí mismas, sin tener ninguna aplicación en mente. No existe una línea clara que separe las matemáticas puras de las aplicadas, y a menudo se descubren aplicaciones prácticas para lo que comenzó como matemáticas puras. ( Artículo completo ... )

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Una homotopía desde un círculo alrededor de una esfera hasta un solo punto.
Crédito de la imagen: Richard Morris

Los grupos homotópicos de esferas describen las diferentes formas en que las esferas de diversas dimensiones se pueden envolver entre sí. Se estudian como parte de la topología algebraica . El tema puede ser difícil de entender porque los resultados más interesantes y sorprendentes involucran esferas en dimensiones superiores. Estos se definen de la siguiente manera: una esfera n- dimensional, n -esfera , consiste en todos los puntos en un espacio de n + 1 dimensiones que están a una distancia fija de un punto central. Esta definición es una generalización del círculo familiar (1 esfera) y la esfera (2 esferas).

El objetivo de la topología algebraica es categorizar o clasificar espacios topológicos . Los grupos de homotopía se inventaron a finales del siglo XIX como una herramienta para dicha clasificación, de hecho utilizando el conjunto de mapeos de una c -esfera en un espacio como una forma de sondear la estructura de ese espacio. Una pregunta obvia era cómo funcionaría esta nueva herramienta en las n- esferas mismas. Hasta la fecha, no se ha encontrado una solución general a esta cuestión, pero se han calculado muchos grupos de esferas homotópicas y los resultados son sorprendentemente ricos y complicados. El estudio de los grupos homotópicos de esferas ha conducido al desarrollo de muchas herramientas poderosas utilizadas en topología algebraica. ( Artículo completo ... )

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Este es un gráfico de todos los nudos primos que tienen siete o menos cruces (sin incluir imágenes de espejo) junto con el desanudo (o " nudo trivial "), un bucle cerrado que no es un nudo principal. Los nudos están etiquetados con la notación Alexander-Briggs . Muchos de estos nudos tienen nombres especiales, incluido el nudo de trébol (3 1 ) y el nudo en forma de ocho (4 1 ). La teoría de los nudos es el estudio de los nudos vistos como diferentes incrustaciones posibles de una 1-esfera (un círculo ) en el espacio euclidiano tridimensional.( R 3 ). Estos objetos matemáticos están inspirados en nudos del mundo real , como cuerdas anudadas o cordones de zapatos , pero no tienen extremos libres y, por lo tanto, no se pueden desatar. (Otros dos objetos matemáticos estrechamente relacionados son las trenzas , que pueden tener cabos sueltos, y los enlaces , en los que se pueden entrelazar dos o más nudos.) Una forma de distinguir un nudo de otro es por el número de veces que se cruza su representación bidimensional. en sí mismo, lo que lleva a la numeración que se muestra en el diagrama anterior. Los nudos primos juegan un papel muy similar a los números primos en la teoría de números.; en particular, cualquier nudo dado (no trivial) puede expresarse de forma única como una " suma " de nudos primos (una serie de nudos primos empalmados) o es en sí mismo primo. La primera teoría de los nudos disfrutó de un breve período de popularidad entre los físicos a fines del siglo XIX después de que William Thomson sugiriera que los átomos son nudos en el éter luminífero . Esto condujo a los primeros intentos serios de catalogar todos los nudos posibles (que, junto con los enlaces, ahora se cuentan por miles de millones). A principios del siglo XX, la teoría de los nudos fue reconocida como una subdisciplina dentro de la topología geométrica . El interés científico resucitó en la segunda mitad del siglo XX por la necesidad de comprender los problemas de los nudos en la química orgánica., incluido el comportamiento del ADN y el reconocimiento de conexiones entre la teoría de nudos y la teoría cuántica de campos .
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